基础数学示例

$2 m^{3} - 38 m - 60$

解题步骤 1

从 $2 m^{3} - 38 m - 60$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.1

从 $2 m^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (m^{3}) - 38 m - 60$

解题步骤 1.2

从 $- 38 m$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (m^{3}) + 2 (- 19 m) - 60$

解题步骤 1.3

从 $- 60$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 m^{3} + 2 (- 19 m) + 2 \cdot - 30$

解题步骤 1.4

从 $2 m^{3} + 2 (- 19 m)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (m^{3} - 19 m) + 2 \cdot - 30$

解题步骤 1.5

从 $2 (m^{3} - 19 m) + 2 \cdot - 30$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (m^{3} - 19 m - 30)$

解题步骤 2

使用有理根检验法因式分解 $m^{3} - 19 m - 30$ 。

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解题步骤 2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

解题步骤 2.3

代入 $- 2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 2$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 2$ 代入多项式。

${(- 2)}^{3} - 19 \cdot - 2 - 30$

解题步骤 2.3.2

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 8 - 19 \cdot - 2 - 30$

解题步骤 2.3.3

将 $- 19$ 乘以 $- 2$ 。

$- 8 + 38 - 30$

解题步骤 2.3.4

将 $- 8$ 和 $38$ 相加。

$30 - 30$

解题步骤 2.3.5

从 $30$ 中减去 $30$ 。

$0$

解题步骤 2.4

因为 $- 2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $m + 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{m^{3} - 19 m - 30}{m + 2}$

解题步骤 2.5

用 $m^{3} - 19 m - 30$ 除以 $m + 2$ 。

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解题步骤 2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$m$

$2$

$m^{3}$

$0 m^{2}$

$19 m$

$30$

解题步骤 2.5.2

将被除数中的最高阶项 $m^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $m$ 。

					$m^{2}$
	$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$

解题步骤 2.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$m^{2}$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			+	$m^{3}$	+	$2 m^{2}$

解题步骤 2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $m^{3} + 2 m^{2}$ 中的所有符号

				$m^{2}$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$

解题步骤 2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$m^{2}$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$

解题步骤 2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$m^{2}$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$	-	$19 m$

解题步骤 2.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 2 m^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $m$ 。

				$m^{2}$	-	$2 m$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$	-	$19 m$

解题步骤 2.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$m^{2}$	-	$2 m$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$	-	$19 m$
					-	$2 m^{2}$	-	$4 m$

解题步骤 2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 m^{2} - 4 m$ 中的所有符号

				$m^{2}$	-	$2 m$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$	-	$19 m$
					+	$2 m^{2}$	+	$4 m$

解题步骤 2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$m^{2}$	-	$2 m$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$	-	$19 m$
					+	$2 m^{2}$	+	$4 m$
							-	$15 m$

解题步骤 2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$m^{2}$	-	$2 m$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$	-	$19 m$
					+	$2 m^{2}$	+	$4 m$
							-	$15 m$	-	$30$

解题步骤 2.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 15 m$ 除以除数中的最高阶项 $m$ 。

				$m^{2}$	-	$2 m$	-	$15$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$	-	$19 m$
					+	$2 m^{2}$	+	$4 m$
							-	$15 m$	-	$30$

解题步骤 2.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$m^{2}$	-	$2 m$	-	$15$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$	-	$19 m$
					+	$2 m^{2}$	+	$4 m$
							-	$15 m$	-	$30$
							-	$15 m$	-	$30$

解题步骤 2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 15 m - 30$ 中的所有符号

				$m^{2}$	-	$2 m$	-	$15$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$	-	$19 m$
					+	$2 m^{2}$	+	$4 m$
							-	$15 m$	-	$30$
							+	$15 m$	+	$30$

解题步骤 2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$m^{2}$	-	$2 m$	-	$15$
$m$	+	$2$		$m^{3}$	+	$0 m^{2}$	-	$19 m$	-	$30$
			-	$m^{3}$	-	$2 m^{2}$
					-	$2 m^{2}$	-	$19 m$
					+	$2 m^{2}$	+	$4 m$
							-	$15 m$	-	$30$
							+	$15 m$	+	$30$
										$0$

解题步骤 2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$m^{2} - 2 m - 15$

解题步骤 2.6

将 $m^{3} - 19 m - 30$ 书写为因数的集合。

$2 ((m + 2) (m^{2} - 2 m - 15))$

解题步骤 3

因数。

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解题步骤 3.1

使用 AC 法来对 $m^{2} - 2 m - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1.1

使用 AC 法来对 $m^{2} - 2 m - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 15$ ，和为 $- 2$ 。

$- 5, 3$

解题步骤 3.1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$2 ((m + 2) ((m - 5) (m + 3)))$

解题步骤 3.1.2

去掉多余的括号。

$2 ((m + 2) (m - 5) (m + 3))$

解题步骤 3.2

去掉多余的括号。

$2 (m + 2) (m - 5) (m + 3)$

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